O infinito na matemática: desafios e maravilhas dos números

Como vocês já devem saber, o infinito é algo que não pode ser contado até o fim, ou seja, o infinito é algo que não é finito. Um dos maiores exemplos do infinito são os números naturais, que são sempre contados adicionando +1. Por exemplo, 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5, e assim por diante.

Uma forma de mostrar a ideia de infinito é o “Paradoxo de Hilbert”. Imagine que você andou até outro estado a pé e agora está exausto, com muitas dores, e tudo que você quer e precisa é uma boa noite de sono para descansar bastante. Por sorte, há um lindo hotel na sua frente chamado “Hotel Hilbert”. No entanto, quando você chega no hotel e pede um quarto, a atendente lhe informa que os quartos infinitos estão lotados por hóspedes infinitos. Ela então informa que pode pedir gentilmente para o hóspede do quarto 1 ir para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 ir para o quarto 3, o hóspede do quarto 3 ir para o quarto 4, e assim por diante.

Dessa forma, você ficaria hospedado no quarto 1, que está vazio. Você teve uma ótima noite de sono e gostou tanto desse hotel que resolve voltar. No entanto, como você é muito popular, volta com infinitos amigos. Novamente, a atendente lhe informa que os quartos infinitos estão cheios e pede gentilmente para o hóspede do quarto 1 ir para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 ir para o quarto 4, o hóspede do quarto 3 ir para o quarto 6, e assim por diante. Todos os hóspedes vão para o quarto que tem o número dobro do número do quarto em que eles estavam, deixando todos os quartos ímpares vazios para seus infinitos amigos. Não há como o infinito ficar cheio, já que ele é infinito, sempre haverá vagas no hotel.

Também existem outras formas e outros paradoxos para explicar o infinito, como as supertarefas. Ou seja, cada passo de uma tarefa é feito na metade do tempo do último passo, porém essa tarefa tem infinitos passos. A soma do tempo que eu levaria para fazer todos esses passos será finita. Por exemplo, se eu corto a primeira fatia de um bolo faltando um minuto para o meio dia, a segunda fatia faltando 30 segundos, a terceira fatia faltando 15 segundos, e assim por diante, quando chegar ao meio dia o bolo estará cortado, já que eu realizei todos os infinitos passos. Como as atendentes do hotel infinito iriam conferir todos os infinitos quartos? Simples, elas fariam as Supertarefas, conferindo um quarto em um tempo, o segundo quarto na metade do tempo do primeiro quarto, o terceiro quarto seria na metade do tempo do segundo quarto, e assim por diante, e a soma de todo esse tempo seria 1 minuto.